RESUMO O presente trabalho trata da simulação do comportamento mecânico de microestruturas dúcteis reforçadas por inclusões elásticas e a repercussão de seu comportamento na resposta macromecânica de estruturas submetidas a carregamentos predominantes de cisalhamento. Para tanto, uma modelagem baseada em conceitos de homogeneização computacional utilizando um acoplamento direto entre escalas e do MEC/MEF é utilizado. Também, o fenômeno de descolamento de fase é levado em conta com o uso de modelo de fratura e contato onde a abertura da fratura por escorregamento é considerada. Por outro lado, a ductilidade da matriz metálica é representada pelo modelo de Von Mises. As análises numéricas são realizadas em duas etapas: uma primeira, em nível de microestrutura e, em seguida, é realizada a análise de uma chapa através do acoplamento direto entre as escalas. Contata-se coerência dos resultados encontrados nas micro e macro escalas com a utilização da modelagem proposta.

ABSTRACT The present work deals with numerical analyses on mechanical behavior of ductile microstructures reinforced by elastic inclusions and the consequences upon micromechanical behavior of structures submitted to shear loadings. For this proposal, a proposed modeling based on computational homogenization technique using full coupling between scales and BEM/FEM is used. Also, the phase debonding is taken into account by using cohesive fracture and contact models where the opening sliding phenomenon is considered. On the other hand, the ductility of the metallic matrix is represented by Von Mises model. Initially, the numerical analyses are performed only at microstructural level and then a full coupled multi-scale analysis of a plate is considered, showing coherence between the micro and macro scale results.

RESUMO São feitas análises numéricas para modelar a resposta constitutiva de materiais heterogêneos utilizando-se uma formulação do Método dos Elementos de Contorno desenvolvida no contexto de uma teoria multi-escala baseada em conceito de EVR. Nesse caso, a microestrutura do material é definida como EVR (Elemento deVolume Representativo), sendo modelada por uma placa em sub-regiões, onde cada sub-região representa a matriz ou uma inclusão, podendo ainda serem definidos vazios no interior da matriz, a fim de modelar a micro-estrutura de materiais porosos. O fenômeno dissipativo no EVR é levado em conta através da considera-ção de um campo de esforços iniciais que representam as forças dissipativas. Após impor ao EVR um vetor de deformações constante ao seu contorno, obtém-se sua resposta constitutiva homogeneizada. Mas para isso, deve-se antes resolver o problema de equilíbrio do EVR, que é definido em termos de flutuação dos deslocamentos. Nos exemplos numéricos consideram-se diferentes micro-estruturas para o EVR, a fim de mostrar como a resposta constitutiva se modifica em função da fração volumétrica adotada para as inclusões ou vazios. Além disso, para um EVR onde são definidas cinco inclusões de forma aleatória, analisa-se sua resposta constitutiva devido a diferentes vetores de deformações impostos ao seu contorno. Os valores homogeneizados das tensões e do tensor constitutivo são comparados com a formulação desenvolvida com o Método dos Elementos Finitos para validar a formulação do Método dos Elementos de Contorno.

ABSTRACT Numerical analyses to model the constitutive response of heterogeneous materials by a Boundary Element Formulation, developed in the context of a RVE-based multi-scale theory, are performed. In this case, the material microstructure is denoted as RVE (Representative Volume Element) and it is modelled by a zoned plate, where each sub-region represents the matrix or an inclusion. Besides, voids can also be defined inside the matrix to model the microstructure of porous materials. The dissipative phenomenon in the RVE is taken into account by considering an initial forces field which represents the dissipative forces. After imposing a constant strain vector to the RVE boundary, its homogenized constitutive response must be obtained. For that, the RVE equilibrium problem must be solved first, which is defined in terms of displacements fluctuations. In the numerical examples different microstructures are adopted to show how the RVE constitutive response changes when different volume fractions of inclusions or voids are considered. Besides, the constitutive response of a RVE where five inclusions are disposed aleatory is evaluated when different strains vectors are imposed to its boundary. The homogenized values for the stress vector and the constitutive tensor are com pared to the formulation developed by the Finite Element Method in order to validate the Boundary ElementFormulation.

RESUMO Neste trabalho, determina-se a capacidade resistente e o modo de ruptura de uma viga mista treliçada, bi- apoiada, do tipo steel-joist warren modificada. Esses tipos de treliças, mistas em aço e concreto, são alternativas bastante eficientes para vencer grandes vãos, sendo geralmente empregadas em edifícios comerciais e industriais, além de pontes ferroviárias e rodoviárias. Por outro lado, em muitos casos as vigas treliçadas do tipo steel-joist [10] são indicadas a fim de possibilitar a passagem de dutos. Neste trabalho, essa viga que será adotada com vão de 13,6 metros, será analisada considerando-se três diferentes tipos de análises: i) analítica ii) numérica bi-dimensional adotando material com comportamento elástico através do software SAP2000 [9] iii) numérica tri-dimensional adotando o material com comportamento elasto-plástico, sendo as análises numéricas realizadas através do software ANSYS [2]. Todas as análises foram feitas tanto para ações permanentes, quanto para ações variáveis, sendo os resultados avaliados tendo como premissa as prescrições das normas técnicas brasileiras. O estudo mostrou que tanto na treliça steel-joist isolada quanto na treliça mista, as diagonais e os montantes foram pouco solicitados. Além disso, mesmo ocorrendo escoamento em alguns trechos dos apoios, foi constatada a ação mista na treliça em aço-concreto. Em todas as análises foi também verificado o estado limite de serviço, obtendo-se os maiores deslocamentos através da análise numérica.

ABSTRACT In this work, the failure capacity and the rupture mode of a simply supported mixed truss beam steel-joist modified warren type has been determined. The mixed steel-concrete trusses, which are very efficient to overcome large spans, are generally used in commercial and industrial buildings as well as in railway and road bridges. In many cases, in order to enable the passage of ducts, steel-joist truss beam must be considered. In this work, a span of 13.6 meters will be adopted for this truss beam for which three different analysis will be considered: i)analytical procedure ii) bi-dimensional numerical modeling by software SAP2000 [9] considering material with elastic behavior iii) three-dimensional numerical modeling considering material with elasto-plastic behavior, being the numerical analysis performed by software ANSYS [2]. For all analysis, permanent and variable actions have been considered as well as the prescriptions of the Brazilian code, being the results compared to the numerical analysis. It has been verified that for both mixed and isolated steel-joist trusses, the diagonal and amounts have presented small values for internal forces. Besides, even when regions next to the support have reached the yielding limit, the mixed action for the mixed trusses has been observed. In all the analysis the resistance load for design has been also verified, being the bigger displacements computed with the numerical modeling.

RESUMO Neste trabalho apresentam-se análises de flexão de placas compostas por materiais heterogêneos através de uma abordagem multi-escala. O macro-contínuo, representado neste trabalho pela placa, é modelado por uma formulação não-linear do Método dos Elementos de Contorno (MEC), que leva em conta o operador tangente consistente (CTO). A micro-escala é representada pelo EVR (Elemento de Volume Representativo), sendo seu problema de equilíbrio definido em termos de flutuação dos deslocamentos e solucionado através do Método dos Elementos Finitos (MEF), onde a hipótese de média volumétrica das tensões e deformações é adotada para se fazer a passagem do micro-contínuo para o macro-contínuo. A cada ponto do macro-contínuo, onde se necessita conhecer as tensões e o tensor constitutivo deve estar associado um EVR, onde se podem definir inclusões e/ou vazios no interior de uma matriz a fim de representar a micro-estrutura de um material heterogêneo. Nos exemplos numéricos são considerados diferentes EVRs com inclusões elásticas dentro de uma matriz, onde os modelos de Von Mises ou Mohr Coulomb são adotados, a fim de governar o comportamento do seu material. Consideram-se diferentes frações volumétricas para as inclusões a fim de verificar a influência na resposta homogeneizada da microestrutura e, consequentemente, no comportamento mecânico do macro-contínuo. Para solucionar o problema de equilíbrio do EVR devem-se adotar condições de contorno em termos de flutuações dos deslocamentos, que nos exemplos analisados no presente trabalho serão consideradas como periódicas.

ABSTRACT Analyses of the bending problem of plates composed of heterogeneous materials are performed considering a multi-scale modelling. The macro-continuum, represented in this paper by the plate, is modelled by a nonlinear formulation of the boundary element method (BEM) taking into account the consistent tangent operator (CTO) in the iterative procedure required to solve the plate equilibrium problem. The micro-scale is represented by the RVE (Representative Volume Element) being its equilibrium problem solved in terms of dis-placements fluctuations by a Finite Element Formulation (FEM), where the volume averaging hypothesis of strain and stress tensors is used to make the micro-to-macro transition. To each point of the macro-continuum where the stresses and constitutive tensor have to be computed, a RVE must be assigned, where inclusions and voids can be defined inside the matrix in order to represent the microstructure of a heterogeneous material. In the numerical examples are considered different RVEs with elastic inclusions, while for the matrix the Von Mises or Mohr-Coulomb criteria can be adopted to govern its material behavior. Different volume fractions have been adopted for the inclusions in order to verify its influence on the homogenized response of the microstructure as well as on the mechanical behavior of the macrostructure. To solve the RVE equilibrium problem, boundary conditions in terms of displacement fluctuations have to be imposed, which for the numerical examples presented in this paper will be adopted periodic.

RESUMO Neste trabalho apresentam-se análises do problema bidimensional de placas compostas por materiais heterogêneos com acoplamento do MEC (Método dos Elementos de Contorno) e MEF (Método dos Elementos Finitos), através de uma abordagem multi-escala. O MEC é adotado para modelar o problema definido no macro-contínuo, que neste trabalho é dado pela análise não-linear do problema bidimensional de placas, enquanto o problema de equilíbrio na micro-escala (representada pelo Elemento de Volume Representativo - EVR) é resolvido pelo MEF. É importante notar, que na formulação não-linear do MEC é adotado o operador tangente consistente ao longo do processo iterativo, a fim de reduzir o esforço computacional, que é muito importante em uma análise multi-escala. Um EVR deve estar associado a cada ponto do macro-contínuo, onde se faz necessário conhecer as tensões e o tensor constitutivo a fim de solucionar o problema não-linear da placa. Para solucionar o problema de equilíbrio do EVR, devem-se impor ao mesmo, condições de contorno em termos de flutuações dos deslocamentos. Depois de resolver o problema de equilíbrio do EVR, a passagem do micro-contínuo para o macro-contínuo é feita adotando-se técnicas de homogeneização para os campos de tensões e do tensor constitutivo, que permitem calcular os respectivos valores homogeneizados para um ponto do macro-contínuo. Nos exemplos numéricos são definidos diferentes EVRs, os quais podem ter inclusões ou vazios no seu domínio, sendo cada fase modelada por modelos constitutivos próprios. Os resultados confirmam as potencialidades de aplicação da modelagem proposta.

ABSTRACT A multi-scale modelling for analyzing the stretching problem of plates composed of heterogeneous materials using a coupling BEM (Boundary Element Method) and FEM (Finite Element Method) and a multiscale approach is presented. The BEM is adopted to model the macro-continuum problem (represented by the non-linear analysis of the stretching problem) while the equilibrium problem at micro-scale (represented by the Representative Volume Element - RVE) is solved by a FEM formulation. It is important to note that in the non-linear analysis of the stretching problem the consistent tangent operator has been considered along the iterative procedure, what is very important to reduce the computational effort. One RVE has to be assigned to every point of the macro-continuum where the stresses and constitutive tangent operator are required to solve the non-linear plate problem. To solve the RVE equilibrium problem, boundary conditions in terms of displacement fluctuations have to be imposed. After solving the equilibrium problem of the RVE the micro-to-macro transition can be made by applying homogenization techniques for the fields of stress and constitutive tensor in order to compute their homogenized values for a macro-continuum point. In the numerical examples, to define the material microstructure, different RVEs composed of inclusions or voids are considered, each one modeled by properly constitutive models. The results confirm the potentialities of the proposed modeling.

RESUMO O presente trabalho trata da simulação numérica do comportamento mecânico de microestruturas de Compósitos com Matriz Metálica (CMMs) utilizando uma proposta de modelo de homogeneização computacional baseada numa abordagem multi-escala. Na microestrutura do compósito, as inclusões são consideradas elásticas e o comportamento da matriz é governado pelo modelo de von Mises com endurecimento isotrópico. Um modelo de fratura coesiva é desenvolvido para simular a fase de descolamento da interface matriz/inclusão. Todo o estudo é baseado no conceito de Elemento de Volume Representativo (EVR), no qual podem ser empregados modelos constitutivos que levam em conta os fenômenos dissipativos de fissuração e plasticidade. Uma série de EVRs com diferentes composições de inclusões elásticas e submetidos a diferentes condições de restrição cinemática foram analisados. Também observou-se a sensibilidade paramétrica do modelo de fratura coesiva e a importância de se considerar a fase de descolamento matriz/inclusão no processo de ruptura da microestrutura. De modo geral, os resultados encontrados contribuem para a discussão acerca do emprego de modelos simples, em termos de formulação e identificação paramétrica, na modelagem da microestrutura de materiais heterogêneos, refletindo assim na acurácia de resultados qualitativos quanto ao seu comportamento macroscópico.

ABSTRACT This work deals with numerical simulation of the metal matrix composites (MMCs) microstructures mechanical behavior using a proposed computational homogenization modeling based on multi-scale approach. In the microstructure, elastic inclusions are considered and the matrix mechanical behavior is governed by a von Mises model with isotropic strain hardening. Besides, a cohesive fracture and contact model is developed in order to simulate the debonding phase in the matrix/inclusion interface. The study is based on the concept of Representative Volume Element (RVE), in which can be used constitutive models that take into account the dissipative phenomena of cracking and plasticity. A set of RVEs composed of different distributions of elastic inclusions and submitted to different kinematical restrictions are analyzed. Moreover, the parametric sensibility of the cohesive fracture model and the debonding interface relevance in the rupture processes of the microstructure are observed. In general, the results contribute to the discussion about the use of simple constitutive models, in their formulation and parametric identification, for modeling of the heterogeneous materials microstructures, leading to accurate qualitative results related to the macroscopic behavior.

No presente trabalho foi desenvolvida a formulação não-linear do método dos elementos de contorno para a análise estrutural de chapas escrita em termos de deslocamentos e forças nas direções normal e tangencial ao contorno da sua superfície. A equação integral do deslocamento é deduzida a partir do Teorema de Reciprocidade de Betti, considerando-se espessura constante na chapa. Para calcular a integral de domínio envolvendo o campo de esforços iniciais (ou inelásticos) deve-se discretizar o domínio em células. A solução não linear se obtém por uma formulação implícita, na qual as correções das deformações são feitas através do operador tangente consistente que se atualiza a cada nova iteração, tendo como referência os valores das variáveis internas referentes ao incremento convergido, o que leva a uma convergência quadrática do processo iterativo. Utilizou-se como critério de ruptura o de von Misses e exemplos foram analisados a fim de mostrar a convergência quadrática no processo iterativo e também a convergência dos resultados numéricos a medida que se refinava a discretização do contorno em elementos e do domínio em células.

In this paper the non-linear formulation of the boundary element method (BEM) for analyzing the stretching plate problem written in terms of displacements and tractions in the normal and tangential directions to the boundary has been developed. The integral equation of displacement is derived from Betti's reciprocity theorem, considering constant thickness on the plate. To obtain the non-linear solution an initial (or inelastic) force field must be considered over the plate domain, requiring therefore the plate domain discretization into cells. Besides, an implicit formulation is adopted, where the strains correction to be computed for each iteration is obtained by considering the consistent tangent operator, leading to a quadratic convergence rate in the iterative procedure required to achieve the plate equilibrium. In the numerical examples the results are compared to software ANSYS and the Von Mises criterion has been adopted to model the material behavior, showing the quadratic convergence rate. Besides, different discratizations have been analyzed in order to show as well the results convergence.